Didier Bresch, chercheur au Laboratoire de Mathématiques de l’Université de Savoie Mont Blanc et du CNRS, et Pierre-Emmanuel Jabin de l’Université du Maryland, ont publié un article conséquent (107 pages) dans la revue la plus prestigieuse dans le domaine des mathématiques fondamentales : Annals of Mathematics (Princeton).
Leur travail a été mis à l’honneur lors du congrès international de mathématiques (ICM) à Rio de Janeiro en 2018 qui rassemble une partie de la communauté mathématique mondiale tous les 4 ans depuis 1897. C’est lors de cet événement que sont décernées, entre autres prix, les médailles Fields. Ce travail a donné également lieu à une publication originale dans le volume des actes publié lors de cette conférence. Les auteurs ont déjà été invités à donner des mini-cours sur le sujet dans plusieurs centres de recherche internationalement reconnus comme par exemple Oxford, Gran Sasso Science Institute (GSSI), Institute of Mathematical Sciences (IMS) d’Hong-Kong ou encore l’Institut mathématique de l’académie des sciences de Prague.
Ces deux chercheurs étudient la modélisation d’écoulements en mécanique des fluides compressibles. En particulier des équations de transport par le fluide de quantités variables au cours du temps, dans le cas où la vitesse de l’écoulement est non-régulière (écoulements dits turbulents). Dans ce contexte, ils ont développé une nouvelle méthode d’estimations quantitatives de régularité très faible pour les équations de continuité qui a permis de répondre à deux problèmes ouverts en mécanique des fluides.
Etienne-Jules Marey (1830-1904) / Prisme triangulaire présentant au courant une de ses bases, quatrième et dernière version de la machine à fumée, équipée de 57 canaux. Agrandissement moderne d’après la plaque négative au gélatino-bromure sur verre Paris, 1901 – Cinémathèque française
Depuis longtemps, il est connu que l’on ne peut pas propager la régularité d’une quantité si le champ de vecteurs qui la transporte présente des effets de compressibilité excessifs. Les auteurs ont alors eu l’idée d’introduire une quantité fictive (jouant le rôle d’informateur) qui suit le mouvement et identifie les endroits où les choses se passent mal. Ils ont alors défini un outil de mesure qui fait intervenir ces informations dans l’estimation de régularité. Dans les deux applications étudiées issues de la mécanique des fluides (pression non-monotone et viscosités anisotropes), en ayant accès aux informations de la quantité fictive, ils ont pu mesurer que les endroits de mauvaises qualités sont de mesures négligeables et qu’ils impactent donc très peu une propagation de régularité. Il est important de noter que cette nouvelle méthode mathématique a un intérêt fort en géophysique.
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